MOVIMIENTO DE UN CUERPO RIGIDO: TRANSLACION & ROTACION

Presentación del tema: "MOVIMIENTO DE UN CUERPO RIGIDO: TRANSLACION & ROTACION"— Transcripción de la presentación:

1 MOVIMIENTO DE UN CUERPO RIGIDO: TRANSLACION & ROTACION
Objectivos : 1. Analizar la cinemática del cuerpo bajo rotación y traslación entre ejes fijos.

2 EL MOVIMIENTO DE UN CUERPO RIGIDO Los casos mas reales hacen que un cuerpo no pueda ser tratado como una partícula. La dimensión y la forma deberán ser consideradas. Además, la rotación de un cuerpo hace que sea tratado el movimiento de forma mas compleja. Ejemplo: engranajes, levas, cadenas, brazos en rotación y cuerpos que rotan en general. El análisis lo limitaremos en el campo del movimiento plano.

3 MOVIMIENTO DE UN CUERPO RIGIDO
Hay tres tipos referencial. de movimiento de un CR en plano Traslación: Traslación rectilínea. Cuando la ruta se compone de traslaciones verticales y horizontales cada vez mas pequeños se llega al movimiento curvilíneo.

4 Rotación alrededor de un eje fijo:
Las partículas se mueven en círculos en planos perpendiculares al eje de rotación. Movimiento Plano General: es la combinación de ambos traslación y rotación. Puede haber varios ejes de rotación?

5 Como ejemplo veamos este mecanismo:

6 donde rA y rB son la posición fija
MOVIMIENTO DE UN C.R. TRASLACION Recordemos: La posición relativa de A y B en traslación rB = rA + rB/A donde rA y rB son la posición fija respecto de un sistema coordenado fijo x-y, y posición relativa entre rB/A es la B y A. La velocidad de B es vB = vA+ drB/A/dt . Como drB/A/dt = 0 desde Luego, vB = vA, y bajo la Todos los puntos sujetos que rB/A es constante. misma lógica, aB = aA. a un CR en traslación tienen la misma velocidad y aceleración.

7 ROTACION RESPECTO DE UN EJE
MOVIMIENTO DE UN C.R. ROTACION RESPECTO DE UN EJE Un partícula P que rota alrededor de un eje fijo rota en un trazo circular. La posición angular de P es definida por el Angulo  Un cambio angular en la posicion, d, es llamado desplazamiento, cuyas unidades están en radianes o revoluciones. 1 revolución = 2 radianes Velocidad Angular, , se obtiene de tomar derivada en el tiempo del desplazamiento angular  = d/dt (rad/s) + Similarmente, aceleración angular es la  = d2/dt2 = d/dt o  = (d/d) + rad/s2

8 ROTACION RESPECTO DE UN EJE
(continuación) Si la aceleración angular es constante,  = C, la ecuación de aceleración puede ser integrada :  = O + Ct  = O + Ot + 0.5Ct2 2 = (O)2 + 2C ( – O) O y O son valores iniciales de la posición angular del cuerpo. Note la similitud con el movimiento rectangular de una partícula.

9 punto del eje de rotación de P.
LA VELOCIDAD DE UN PUNTO La magnitud de las velocidad de P es igual a r. La dirección de la velocidad siempre será tangente a la trayectoria de P. El a formula del vector la magnitud y dirección de v puede se determinada por el producto vectorial de  y rp . rp es un vector que va desde cualquier punto del eje de rotación de P. v =  x rp =  x r La dirección de v es determinada por la regla de la mano derecha.

10 La forma escalar será at =  r y an =
ACELERACION DE UN PUNTO P La aceleración de P es expresada en coordenadas normal (an) y tangencial (at) La forma escalar será at =  r y an = 2 r. La componente tangencial, at, representa la relación de cambio en la magnitud de la velocidad. Es tangente a la trayectoria. La componente normal, an, representa la relación de cambio de la dirección de la velocidad. Apunta al centro del radio de curvatura.

11 x rP +  x drP/dt x rP +  x r – 2r = at + an (at)2 + (an)2
Usando la formula del vector la aceleración de P es definida por la derivada de la velocidad. a = dv/dt = d/dt x rP +  ( x rP) x drP/dt =  x rP +  x Esto puede ser reducido a: a =  x r – 2r = at + an La magnitud del vector aceleración es = (at)2 + (an)2

12 EJEMPLO Dado: El motor M rota con  = 4(1 – e-t) rad/s, t en segundos. Los radios de las poleas y el ventilador son 1 in, 4 in y 16 in, respectivamente. Hallar: La magnitud de la velocidad y la aceleración en del ventilador cuando t = 0.5 s. el punto P

13 m = 4(1 – e-t), la aceleración de halla derivando.
Solución: 1) Como la velocidad angular es una función del tiempo, m = 4(1 – e-t), la aceleración de halla derivando. m = dm/dt = 4e-t rad/s2 Donde t = 0.5 s, m = 4(1 – e-0.5) = rad/s, m = 4e-0.5 = rad/s2 todos 2) Asumiendo que la faja no desliza, la aceleración en los puntos de la faja serán iguales. Así también la velocidad y aceleración tangenciales. Luego, la velocidad angular del motor (m) y la del fan (f) se relacionan por la velocidad tangencial: v = m rm = f rf => (1.5739)(1) = f(4) => f = rad/s

14 = f rf => (2.4261)(1) = f(4) => f = 0.6065 rad/s2
3) Similarmente la aceleración tangencial: at = m rm = f rf => (2.4261)(1) = f(4) => f = rad/s2 4) La velocidad de P en el fan, a un radio16 in, es determinado como: vP = frP = (0.3935)(16) = 6.30 in/s La aceleración normal y tangencial de P se calcula como: an = (f)2 rP = (0.3935)2 (16) = in/s2 at = f rP = (0.6065) (16) = in/s2 Y su magnitud : aP = (an)2 + (at)2 = (2.477)2 + (9.704)2 = 10.0 in/s2

15 Una polea A (rA = 50 mm) que parte del reposo cuando s =
PROBLEMA Dado: Una polea A (rA = 50 mm) que parte del reposo cuando s = 0, tiene aceleración angular constante A = 6 rad/s2. La polea C (rC = 150 mm) tiene una masa de inercia D (rD = 75 mm) el cual esta unida y se enrolla en C. Hallar: La velocidad del bloque B cuando se ha elevado s = 6 m.

16 aB = (at)D = DrD = (2)(0.075) = 0.15 m/s2
Solución: 1) Asumiendo que la faja es inextensible y que no desliza, las componentes de las aceleraciones y velocidades tangenciales son iguales entre las poleas A y C. Así, at = ArA = CrC Como C y D => (6)(50) = C(150) => C = 2 rad/s2 2 rad/s2 rotan juntos, D = C = 2) En iguales condiciones de la cuerda en , la velocidad aceleración tangencia entre B y D son iguales: y aB = (at)D = DrD = (2)(0.075) = 0.15 m/s2

17 Como A es constante, D y aB serán constantes. La ecuación
3) Como A es constante, D y aB serán constantes. La ecuación de movimiento acelerado rectilíneo determina la velocidad del bloque B cuando s = 6 m (so = vo = 0): (vB)2 = (vo)2 + 2aB(s – so) + (vB)2 = 0 + 2(0.15)(6 – 0) vB = 1.34 m/s